Para terminar con el dilema que presentó la serie de Grandi, presentaremos el último capítulo, donde veremos que los errores y las incongruencias no afectaron solo a unos pocos genios matemáticos.

Leibniz había buscado la solución a la incongruencia del valor de 1/2 para la suma de Grandi en un planteamiento probabilístico, del que él mismo dudada, de hecho así se lo comunicó a otros autores. No obstante, genios como Lagrange o Poisson aceptaron el argumento. Incluso Euler admitió el resultado, llegando él mismo a una conclusión similar:

1-2+3-4+5-6+…=1/4.

¿Cómo?, el planteamiento difiere a como lo mostraré, pero para verlo esta forma resulta más sencilla.

s=1-2+3-4+5-6+…=1+(-2+3-4+5-6+…)=1-(2-3+4-5+6-…)= 1-((1+1)-(1+2)+(1+3)-(1+4)+ (1+5)-…)=1-(1-1+1-1+…)-(1-2+3-4+5-…)=1-1/2-s

de donde se deduce que s=1/4. Sin embargo, Euler ya comenzaba a atisbar el problema:

Ya no queda ninguna duda que la suma de la serie 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6… etcétera es 1/4 (…) Parece una paradoja decir que arroja el valor 1/4, ya que cuando sumamos los primeros cien términos de la serie se obtiene el valor -50, mientras que la suma de los primeros 101 términos arroja el valor +51, lo cual es muy distinto de 1/4 y la suma es cada vez mayor a medida que aumenta el número de términos que se suman. Por ello es que desde hace algún tiempo he llegado a la conclusión de que es necesario darle a la palabra «suma» un significado más amplio…

El mismo escepticismo cuando Riccati argumentó que la solución de Grandi llevaba a inconsistencias como que

n/2=n/(1+1)=n-n+n-n+n-n+n-n+…

El error es causado por el uso de una serie [...] de la que es imposible llegar a ninguna conclusión. De hecho, [...] que no suceda que los términos siguientes pueden ser descuidados en comparación con los anteriores términos, esta propiedad se verifica sólo para las series convergentes.

El error radicaba en la concepción de serie, o más bien, en la falta de una definición clara de que era una serie.

Enlaces de interés:

• Mathematics education and historical references: Guido Grandi’s infinite series’, Bagni, G.T. (2005)
• 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … = 0,25, microsiervos
• Serie de Grandi, wikipedia

El pasado día vimos como Guido de Grandi afrontó la solución al problema que planteaba encontrar la suma

1-1+1-1+1-1+…

Con anterioridad se había planteado dos resultados posibles:0 o 1, obtenidos mediante

• (1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+0+…=0
• 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…=1+0+0+0+0+..=1

Incluso 1/2 al calcularlo de la siguiente manera. Sea

S=1-1+1-1+1-1+…=1-(1-1+1-1+1-1+…)=1-S

y, por tanto, 2S=1; es decir, S=1/2.

Leibniz, junto con Newton fueron los primeros en utilizar con frecuencia las series infinitas, coincidía en estos resultados, aportando una demostración más: si paramos la serie arbitrariamente es posible obtener 1 o cero con la misma "probabilidad" (entrecomillo probabilidad, porque en ese momento la definición de esta palabra no era muy clara); por tanto, el valor más probable de su suma es la media entre 0 y 1; es decir, 1/2. Este razonamiento de Leibniz, como él mismo afirmaba, entraba más en la metafísica que en las matemáticas.

Enlaces de interés

• El mundo se creó de la nada