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Los 23 problemas de David Hilbert

Viernes, Enero 8th, 2010

La famosa lista de 23 problemas de propuestos por David Hilbert en el Congreso de París de 1900 a supuesto un incentivo constante en los matemáticos del siglo XX, la solución de uno de los problemas suponía el paso a la notoriedad matemática. Como son constantes las referencias a esta lista la pondré, aunque podemos verla en multitud de sitios.

  1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo.
  2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética.
  3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
  4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
  5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
  6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
  7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2^{1/2}, e^\pi, etc.
  8. El problema de la distribución de los números primos.
  9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
  10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
  11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
  12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
  13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.
  14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
  15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
  16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
  17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
  18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
  19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
  20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet
  21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
  22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
  23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.

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Los principales hitos en el siglo XX

Jueves, Diciembre 17th, 2009

Recopilando artículos de matemáticas en la web, he encontrado este interesante apunte sobre los principales hitos de las matemáticas en el siglo XX Os dejo un extracto de su introducción:

 

Comenzaremos a pensar la evolución de la matemática en el siglo XX con un párrafo del E.T. Bell, donde creemos que se sintetizan algunas cuestiones: “Si las matemáticas del siglo XX difieren en forma importante de las del siglo XIX, posiblemente las distinciones más interesantes son un marcado aumento en la abstracción, con la consecuente ganancia en la generalización, y una preocupación creciente por la morfología y anatomía comparada de las estructuras matemáticas; un afianzamiento en la penetración crítica y el principio de la aceptación de las limitaciones que ofrece el razonamiento deductivo clásico. Si ‘limitaciones’ da idea de nulidad después de siete mil años de lucha humana para pensar claramente, esa idea es errónea. Pero es verdad que las valoraciones críticas del razonamiento matemático aceptado, lo que se acusa en las primeras cuatro décadas del siglo XX, han necesitado revisiones extensas de las matemáticas anteriores e inspiraron muchos trabajos nuevos de profundo interés, tanto para las matemáticas como para la epistemología. También condujeron a lo que parece ser el abandono definitivo de la teoría que sustenta que las matemáticas son una imagen de la Verdad Eterna”.

Algunas de las cuestiones que más han influido en la investigación matemática del siglo XX son: los 23 problemas propuestos por Hilbert en el Congreso de París de 1900, que constituyeron un desafío constante para los matemáticos.

David Hilbert (1862-1943) comenzó su discurso en el Primer Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en París, en 1900, con las siguientes palabras:

"¿Quien de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros? ¿Cuáles serán las metas particulares que tratarán de alcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generaciones futuras? ¿Qué nuevos métodos y nuevos hechos nos depararán los siglos por venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático?"

Su disertación comenzó mencionando dos famosos problemas no resueltos: el último teorema de Fermat y el problema de los tres cuerpos, y explicando cómo el intento por resolverlos condujo a Kummer a introducir los números ideales y a Poincaré a desarrollar la mecánica celeste.

Hilbert presentó sus 23 problemas tratando de orientar a los matemáticos de nuestra época; algunos aún permanecen sin resolver, algunos fueron reformulados, pero todos fueron impulso para el trabajo de los matemáticos del siglo XX.

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Hilbert & Einstein

Viernes, Octubre 9th, 2009

Hilbert.jpg Ayer leí la entrada en CienciaKanija: Podría probarse la propulsión por hipermotor en el LHC. En él elevó mi atención los siguientes párrafos:

En 1924, el influyente matemático alemán David Hilbert publicó un artículo llamado “The Foundations of Physics” en el cual describía un extraordinario efecto colateral de la Teoría de la Relatividad de Einstein.

Hilbert estaba estudiando la interacción entre una partícula relativista que se mueve acercándose o alejándose de una masa estacionaria. Su conclusión fue que si la partícula relativista tenía una velocidad mayor que la mitad de la velocidad de la luz, la masa estacionaria debería repelerla. Al menos, así es como parecería para un observador inercial lejano.

Estamos hablado de David Hilbert, uno de los matemáticos más eminentes que ha dado la historia. ¿Qué destaca la atención de un profano?, la relación de Hilbert, un matemático muy teórico, con la teoría de la relatividad de Einstein. Y es que pocos conocen la controversia que en 1915 mantuvieron ambos científicos.

Hilbert había jugado con la física y encontró en los trabajos de un joven Einstein un nuevo reto científico. Desde su cátedra en Göttingen invitó al físico a dar unos cursos sobre su teoría. Pero las demostraciones de Einstein contenían algunos errores y Hilbert se vio capaz de resolverlos ante los malogrados intentos del autor de la teoria.

Al final fue una carrera casi traumática para Einstein, quien temía que todo el reconocimiento que estaba empezado a lograr se le fuera de las manos por no poder dejar terminado completamente sus resultados. Sin embargo, Hilbert no quiso quitarle ningún mérito al joven físico, y, aún consiguiendo probar los resultados de Einstein, siempre atribuyó a este "uno de los mayores logros jamás conseguidos por el espíritu humano".

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