Interesante artículo en Ciencia Kanija sobre "una nueva forma de dividir cierto tipo de matrices en otras más simples. El resultado podría tener implicaciones para el software que procesa datos de audio o video, para la compresión de software que empaqueta archivos digitales de forma que ocupen menos espacio, o incluso para sistemas que controla dispositivos mecánicos".
Este pasado fin de semana han aparecido curiosas entradas que me llamaron la atención. Por un lado Ciencia Kanija nos instruyó sobre Agujeros negros y qubits, cada vez más me sorprende la computación cuántica (tendré que hacer algo al respecto). La condensación de información y el nivel de conocimiento en física matemática es de difícil seguimiento en estos artículos, incluso para personas que creemos conocer muchos detalles de los que se hablan, pero siempre aparece alguno que levanta la curiosidad. En mi caso, y en el este artículo, la referencia a la computación supercuántica.
Por qué hablo de esoterismo en el título, el final del artículo me lo ha sugerido:
Así que las matemáticas esotéricas de la teoría M podrían encontrar aplicaciones prácticas.
Las otras entradas son de microsiervos, Dos conjuntos de Julia fractales en la superficie de una esfera, con la muestra de Arnaud Chéritat, Instituto de Matemáticas de Toulouse, que tiene un montón de preciosas imágenes fractales en su web, y las curiosidades de algunos números que se pueden ver en Number Gossip, un buscador creado por Tanya Khovanova.
En los años veinte del siglo pasado saltó una dura polémica entre dos de los más grandes físicos del momento, y de todos los tiempos. En su megafama Einstein disfrutaba de los agasajos del resto de la comunidad científica, y se sentía como pez en el agua entre entre ellos. Sin embargo, al año siguiente de concederle el Nobel de Física, el premio fue a parar a las manos de Niels Bohr. Sus investigaciones sobre la estructura atómica y la radiación estaban encaminadas a descubrir un nuevo campo en la física que nublaría la fama de la relatividad de Einstein.
Bohr es una pieza muy importante en la construcción de la mecánica cuántica, pero Einstein tampoco quería quedarse atrás. De hecho él había recibido el Nobel de Física de 1921 por su contribución en la física teórica, en especial por su interpretación del efecto fotoeléctrico. Ese eufemismo de "contribución en la física teórica" escondía un reconocimiento por la Teoría General de la Relatividad que muchos físicos todavía se obstinaban a reconocer, aunque se había dado pruebas de su veracidad.
No obstante la nueva física cuántica planteaba un serio problema: las leyes de la relatividad de Einstein no parecen tener validez en el mundo subatómico. Esto inició la dura disputa entre los dos genios.
En Ciencia Kanija se ha publicado un artículo sobre esta disputa:
La nueva investigación, llevada a cabo en colaboración entre el Departamento de Análisis Matemático de la Universidad Complutense de Madrid y Michael M. Wolf, profesor de física cuántica teórica en el Instituto Niels Bohr de la Universidad de Copenhague, ofrece una re-evaluación de la disputa histórica sobre la (in-)completitud de la mecánica cuántica.
Los resultados refuerzan la posición de Bohr demostrando que cualquier hipotética teoría que fuese “más completa” que la mecánica cuántica, está necesariamente en oposición con el principio de Einstein de que las cosas sólo pueden funcionar localmente. Entonces, por ejemplo, un evento sobre la Tierra no podría afectar instanténeamente a lo que sucede en la Luna. Irónicamente, el deseo de Einstein de una descripción más completa de la realidad física falla debido a su propio principio.
Leyendo Ciencia Kanija he encontrado un curioso ejemplo de matemática casera aplicada a los astros: Medir la excentricidad de la Luna desde casa. Esto me da pie a explicar el concepto de excentricidad de una cónica.
Las cónicas son las curvas determinadas por la intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice y que se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas. La circunferencia es una elipse cuyos focos coinciden.
Pues bien, uno de los parámetros importantes en las cónicas es su excentricidad (e). Esta nos informa sobre lo que se parece una cónica a una circunferencia. Si la cónica tiene excentricidad cero, nos dice que es una circunferencia; si su excentricidad es mayor que cero pero menor que uno, es una elipse; si es uno, una parábola; y si es mayor que uno, una hipérbola. En la imagen vemos como partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
Desde que Kepler enunciara su leyes conocemos que los planetas tienen órbitas elípticas alrededor del Sol, y el cálculo de de las excentricidades de estas nos dicen que son muy cercanas a órbitas circulares (para la Tierra, e=0,017 ). Lo mismo sucede con los satélites como la Luna, cuya excentricidad de la elipse que describe en su movimiento alrededor de la Tierra es de 0,0549.
Leyendo una entrada de Ciencia Kanija he encontrado una antigua sobre la banda de Möbius. La traigo aquí para vosotros.
Los matemáticos calcularon por fin la forma de la musa de Escher.
Conocido desde hace tiempo como un objeto matemático curioso que carece de una separación entre “dentro” y “fuera”, las bandas de Möbius también han capturado la imaginación de artistas como M. C. Escher, cuya pintura Banda de Möbius II muestra a hormigas gateando por esta curiosa superficie sin final. De fácil construcción retorciendo una banda de papel y uniendo ambos extremos, es un objeto que tiene una sola superficie y un solo borde; las hormigas de Escher gatean por la cara inversa de la superficie son atravesar nunca un borde.
Hace casi 150 años de que se descubriesen las bandas de Möbius, los científicos del Colegio Universitario de Londres (UCL) informan en Nature Materials que pueden calcular la forma exacta de este extraño objeto si se le da su razón de aspecto (la razón entre la anchura y la longitud) junto con las propiedades elásticas del material con el que está hecho. Aparte de su significado puramente matemático, las bandas de Möbius se usan a veces en maquinaria para transmitir energía entre dos poleas usando correas de dirección en las que “ambos lados” son iguales. A pesar de su larga historia, sin embargo, nadie podía predecir a priori qué forma tendría una de estas bandas si hacemos una de, digamos, un plástico transparente de 8 centímetros de ancho y 50 centímetros de longitud. Los científicos de la UCL no sólo han resuelto el misterio, sino que también han comprendido el ancho máximo de una de tales bandas dada la longitud, poniendo final a una pregunta que se realizó por primera vez hace más de 80 años.
Su resultado es un conjunto de ecuaciones diferenciales que pueden resolverse dando las propiedades elásticas del material y la razón del aspecto del papel. Usando el principio general de mínima energía (que explica, por ejemplo, que doblar una barra de acero sea un trabajo difícil debido a que la barra doblada tiene más energía elástica que la misma barra derecha), los científicos pueden resolver las ecuaciones para predecir la forma de una banda de Möbius cuando está en reposo. Además de la satisfacción matemática de comprender un problema tan antiguo, el estudio también ha pavimentado el camino para que los científicos analicen las propiedades estructurales de las macromoléculas crecimiento y cristales en forma de bandas de Möbius, un proceso desarrollado en 2002.
Seguir leyendo aquí.
Hace tiempo, Manuel Hermán Capitán creador de cienciakanija, tradujo para astroseti, el artículo sobre la historia del cero que publica MacTutor en inglés, os lo dejo, es ideal para este blog.
Una de las preguntas más comunes que los lectores de este archivo hacen es: ¿Quién descubrió el cero? ¿Por qué entonces no hemos escribo un artículo como este en los inicios del archivo? La razón es, básicamente, debido a la dificultad de contestar a la pregunta de una forma satisfactoria. Si alguien tuvo por primera vez la idea del cero, la cual todo el mundo vio como una brillante innovación a introducir en las matemáticas a partir de ese momento, la pregunta tendría una respuesta satisfactoria incluso si no conociésemos el genio que lo inventó. Los registros históricos, sin embargo, muestran unas vías bastante distintas hacia dicho concepto. El cero hace apariciones fantasmales solo para desvanecerse de nuevo casi como si un matemático estuviese buscándolo pero no reconociese su significado fundamental incluso aún viéndolo.
Lo primero que hay que decir sobre el cero es que hay dos usos para el cero, ambos extremadamente importantes, pero algo distintos. Un uso es como indicador de lugar vacío en nuestro sistema numérico de valor por posición. Así pues, en un número como 2106, el cero es usado para que las posiciones del 2 y del 1 sean correctas. Claramente 216 significa algo bastante distinto. El segundo uso del cero es como un número en sí mismo, en la forma que lo usamos como 0. Hay también otros aspectos distintos del cero en estos dos usos, a saber, el concepto, la notación y el nombre. (Nuestro nombre “cero” deriva del árabe sifr el cual también nos da la palabra ‘cifra’.) (más…)
Ciencia Kanija ha publicado una excelente entrada sobre Roger Penrose. Este físico matemático ha sobresalido desde el último tercio del siglo pasado. Sus logros en física, cosmología y matemáticas lo ponen al nivel de grandes como Stephen Hawking. En matemáticas podemos hablar de las matrices pseudoinversar (Moore–Penrose pseudoinverse) y de las figuras imposibles, que lo relaciona directamente con Maurits Cornelis Escher (1898-1972), autor de la famosa imagen (Waterfall, 1961) de la ilustración.
La entrevista que publica Ciencia Kanija, Roger Penrose dice que la física está equivocada, desde las cuerdas a la mecánica cuántica, muestra la excentricidad ante las teorías actuales de la física de quien el tiempo determinará que era un genio visionario o un pobre venido a menos.
Ayer apareció una noticia sobre número congruentes, pero no los que se asocian mediante una relación de congruencia, sino aquéllos que son el área de un triángulo rectángulo de lados racionales.
El siguiente texto se debe a una entrada del blog de cienciakanija.com, del que soy un asiduo lector.
Un equipo de matemáticos de EE UU, Uruguay, Reino Unido y Australia ha desarrollado un método informático que resuelve un problema que se planteó hace un milenio y que está relacionado con los “números congruentes”, correspondientes a las áreas de los triángulos rectángulos de lados racionales. Algunos de los miembros del equipo han debatido este problema en el Centro de Ciencias Pedro Pascual – CSIC de Benasque (Huesca).
Matemáticos de América del Norte, Europa, Australia y América del Sur han resuelto el primer billón de casos de un antiguo problema matemático. El avance ha sido posible gracias a una ingeniosa técnica para multiplicar números elevados. Los números en cuestión son tan enormes, que si hubiera que escribir sus dígitos a mano podrían hacer un viaje de ida y vuelta a la Luna. El mayor reto consistía en que estos números no cabían ni siquiera en la memoria principal de los ordenadores disponibles, por lo que los investigadores tenían que acudir a un uso intensivo de los discos duros.
Según Brian Conrey, director del Instituto Americano de Matemáticas (EE UU), “los viejos problemas como éste pueden parecer ‘oscuros’, pero generan gran cantidad de investigación útil e interesante, ya que los investigadores desarrollan nuevas formas de afrontarlos”.
El problema, que se planteó por primera vez hace más de mil años, tiene que ver con las áreas de triángulos rectángulos. Lo que resulta sorprendentemente problemático es determinar qué números enteros pueden ser el área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros o fracciones. El área de dicho triángulo recibe el nombre de “número congruente”.
Por ejemplo, el triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5, muy típico en geometría, tiene un área de 1/2 x 3 x 4 = 6, con lo que 6 es un número congruente. El número congruente mínimo es 5, que es el área del triángulo rectángulo con lados 3/2, 20/3 y 41/6. Los primeros números congruentes son 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20 y 21. Muchos de los números congruentes ya se conocían antes del nuevo cálculo.
Por ejemplo, todos los números de la secuencia 5, 13, 21, 29, 37, etc. son números congruentes. Pero otras secuencias similares, como 3, 11, 19, 27, 35, etc. resultan más misteriosas y hay que comprobar cada número individualmente. El cálculo encontró 3.148.379.694 nuevos números congruentes hasta un billón. (más…)
