Agosto 3rd, 2010
La Teoría de Matrices y el Algebra Lineal no aparece como consecuencia del estudio de los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales. La organización de estos coeficientes llevó al desarrollo de los determinantes y no de las matrices (Leibniz utilizó determinantes en 1693 y Cramer desarrolló su método de resolución de sistemas mediante determinante en 1750). El primer uso implícito de las matrices aparece en la obra de Lagrange en su estudio de los extremos de funciones de varias variables a finales del siglo XVIII.
El hecho que llevó al desarrollo de las matrices fue el concepto de multiplicación, dado por Cayley en 1855, para representar la composición de aplicaciones (transformacion ) lineal . Fue Sylvester, en 1848, el que acuñó el término "matriz" pues consideraba una matriz como un generador de determinantes: cada subconjunto de k filas y k columnas de una matriz generaba
un determinante kxk. Con el resultado ”det(AB) = det(A)det(B)” se estableció una conexión entre las teorías de las matrices y los determinantes.
El siglo XX focalizó sus intereses en el estudio de espacios vectoriales abstractos, relegando las matrices al papel de una notación en la interpretación del comportamiento de las aplicaciones lineales. Hubo que esperar al final de la II Guerra Mundial, con el advenimiento de los computadores, para que se volviera a enfatizar el estudio de las matrices como entes con interés propio. Alan Turing introduciría en 1948 el concepto de LU-factorización y una década después aparecería el concepto de QR-descomposición (Wilkinson) y la constatación de la estabilidad del método de eliminación gaussiana, que sigue siendo el mejor método conocido para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales.
(Extraído del texto indicado)
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Agosto 1st, 2010
Un buen libro de matemáticas para las vacaciones es…, pues eso, qué libro os lleváis de vacaciones.
Julio 30th, 2010
En la revista NGHistoria aparece este mes un artículo sobre los números escritos en tablillas sumerias. Aquí tenéis una explicación muy ilustrativa.
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Julio 30th, 2010
Hoy es … día de irse de vacaciones, así pues nos daremos una vuelta por otros mundos y retornaremos en septiembre. No obstante, dejaré preparadas algunas entradas de historia y material útil para ejercicios que tengan nuestras mentes dispuestas para la vuelta.
Aquí os dejo una tabla sobre las leyes del álgebra de conjuntos, ese álgebra que llevó de cabeza a los matemáticos del XIX…, pero eso es otra historia que dejaremos para la vuelta.
¡Felices vacaciones!
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Julio 29th, 2010
Interesante artículo en Ciencia Kanija sobre "una nueva forma de dividir cierto tipo de matrices en otras más simples. El resultado podría tener implicaciones para el software que procesa datos de audio o video, para la compresión de software que empaqueta archivos digitales de forma que ocupen menos espacio, o incluso para sistemas que controla dispositivos mecánicos".
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Julio 29th, 2010
La semana pasada encontré un blog sobre Fermat, cuyo título Pierre De Fermat, no puede ser más explícito. Es una pena su escaso impacto, así que he pensado en traerlo aquí y que se difundan un poco más. Hoy os traigo una entrada sobre números perfectos. Que la disfrutéis.
Un número perfecto es igual a la suma de sus divisores exceptuando él mismo.
6 = 1+2+3
26 = 1+2+4+7+14
496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248
8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
El problema reside en hallar una regla que permita encontrar números perfectos, y que tambien sea útil para deducir si un número es o no perfecto.
En algunos números la suma de sus divisores es un múltiplo del número. Estos números son denominados perfectos por múltiplos.
El problema de encontrar estos números fue propuesto por Mersenne en una carta a Descartes. Fermat descubrió el 2º ejemplo de nº perfecto por múltiplos, el 672.
Descartes contestó a Mersenne diciéndole que había encontrado otro número, el 1.476.304.896.
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Julio 28th, 2010
Enhorabuena otra vez a Pablo Mira, nuestro premiado matemático, profesor de la Universidad Politécnica de Cartagena. Cuanta más divulgación le demos más contribuiremos a expandir el interés por esta ciencia.
Según lo publicado el matemático Pablo Mira gana el VII Premio de Jóvenes Investigadores de la Región de Murcia. l Ejurado, formado por seis prestigiosos científicos, destaca “su excepcional trayectoria científica y su contribución a la solución de problemas matemáticos que se consideraban inabordables”.
En gaussianos podréis encontrar buena información de su trabajo, por el que ha sido premiado repetidas veces.
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Julio 28th, 2010
Esta semana parece que la dedicamos a los complejos, en este caso para resolver un curioso ejercicio: ¿cuánto es 1π?
Curioso, ¿a que sí? Es un ejercicio clásico de recordad el logaritmo complejo (miradlo abajo) y aplicarlo a la fórmula
De esta forma tendremos
Con lo cual concluimos que 1π tiene infinitos valores, todos ellos sobre el círculo unidad dado por |z|=1.
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Julio 27th, 2010
Continuando con ejemplos de ejercicios y visto que ayer utilizamos la fórmula de Moivre, os propongo otro uso habitual de esta fórmula: el cálculo de potencias de complejos.
Por ejemplo, calculemos (5+7i)11. Primero recordemos que
Luego
El arctan(5,7) designa el arcotangente del punto (5,7) en el plano complejo cartesiano, cuyo valor será π/6. Sustituimos para obtener el resultado:
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Julio 26th, 2010
Ahora que se nos echa encima el periodo de vacaciones no está mal recordar algunas fórmulas, que nos ayudan a resolver ejercicios, que periódicamente aparecen en nuestros estudios.
Una de ellas es la fórmula de De Moivre y un ejemplo clásico es su utilización para expresar múltiplos del coseno o del seno, veámoslo con el cos(5θ) en función del cos(θ) y el sin(5θ) en función del sin(θ).
Apliquemos la fórmula y desarrollemos el binomio mediante la fórmula del binomio de Newton:
Igualando parte real y parte imaginaria tendremos
Para dejarlo sólo con términos de cosenos y senos es suficiente con recordar que
y por tanto,
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