Un buen libro de matemáticas para las vacaciones es…, pues eso, qué libro os lleváis de vacaciones.
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Vacaciones y Álgebra de conjuntos
Viernes, Julio 30th, 2010Hoy es … día de irse de vacaciones, así pues nos daremos una vuelta por otros mundos y retornaremos en septiembre. No obstante, dejaré preparadas algunas entradas de historia y material útil para ejercicios que tengan nuestras mentes dispuestas para la vuelta.
Aquí os dejo una tabla sobre las leyes del álgebra de conjuntos, ese álgebra que llevó de cabeza a los matemáticos del XIX…, pero eso es otra historia que dejaremos para la vuelta.
¡Felices vacaciones!
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¿Cuánto es 1π?
Miércoles, Julio 28th, 2010Esta semana parece que la dedicamos a los complejos, en este caso para resolver un curioso ejercicio: ¿cuánto es 1π?
Curioso, ¿a que sí? Es un ejercicio clásico de recordad el logaritmo complejo (miradlo abajo) y aplicarlo a la fórmula
De esta forma tendremos
Con lo cual concluimos que 1π tiene infinitos valores, todos ellos sobre el círculo unidad dado por |z|=1.
Enlaces de interés:
- Logaritmo complejo, video
- calcular ii, epsilones
- Raíces de un número complejo, juanmemol, video
Potencia de un complejo usando De Moivre
Martes, Julio 27th, 2010
Continuando con ejemplos de ejercicios y visto que ayer utilizamos la fórmula de Moivre, os propongo otro uso habitual de esta fórmula: el cálculo de potencias de complejos.
Por ejemplo, calculemos (5+7i)11. Primero recordemos que
Luego
El arctan(5,7) designa el arcotangente del punto (5,7) en el plano complejo cartesiano, cuyo valor será π/6. Sustituimos para obtener el resultado:
Enlaces de interés:
- La fórmula de De Moivre,
- Fórmula de De Moivre, wikipedia
- Potencia de un número complejo por la fórmula de Moivre, juanmemol, video
Los recursos de la fórmula de De Moivre
Lunes, Julio 26th, 2010Ahora que se nos echa encima el periodo de vacaciones no está mal recordar algunas fórmulas, que nos ayudan a resolver ejercicios, que periódicamente aparecen en nuestros estudios.
Una de ellas es la fórmula de De Moivre y un ejemplo clásico es su utilización para expresar múltiplos del coseno o del seno, veámoslo con el cos(5θ) en función del cos(θ) y el sin(5θ) en función del sin(θ).
Apliquemos la fórmula y desarrollemos el binomio mediante la fórmula del binomio de Newton:
Igualando parte real y parte imaginaria tendremos
Para dejarlo sólo con términos de cosenos y senos es suficiente con recordar que
y por tanto,
Enlaces de interés:
- La fórmula de De Moivre,
- Fórmula de De Moivre, wikipedia
- Potencia de un número complejo por la fórmula de Moivre, juanmemol, video
- Múltiplos de ángulos y fórmula de Moivre, juanmemol, video
Factoriales
Miércoles, Julio 21st, 2010
La semana pasada vivimos un gran contenido de entradas matemáticas en la red. ¡Eso está muy bien!. Desde microsiervos una frase sobre factoriales:
Los factoriales fueron el intento de alguien de hacer que las matemáticas parecieran más emocionante. En una camiseta matemática.
Se trata de una frase para el diseño de camisetas. Los factoriales juegan un papel muy importante en la teoría de números, como curiosidad hay un resultado que lo une directamente con la única prueba (que yo recuerde) de primalidad "si y sólo si". Me refiero al Teorema de Wilson:
n>1 es un número primo si, y sólo si, (n − 1)! ≡ − 1 (mod n)
En realidad, el teorema sólo se enunció en un sentido que recibió el nombre de teorema de Wilson (o Congruencia de Wilson), aunque hoy lo conocemos como una prueba en ambos sentidos.
El primero que utilizó la notación factorial fue Christian Kramp (1760-1826), que la utilizó en su trabajo Elements d’arithmétique universelle, 1808.
Enlaces de interés:
- n!, microsiervos
- Teorema de Wilson, wikipedia
- Christian Kramp, MacTutor
Cómo hacerse famoso
Lunes, Julio 19th, 2010Leyendo blog de la semana pasada encuentras post que te hacen recapacitar. En microsiervos Alvy publicó
Para que un matemático consiguiera tanta notoriedad como me sucedió a mi al descubrir el bug aquel, normalmente debería haber disparado a alguien. Thomas R. Nicely descubridor del bug del Pentium allá por 1994.
Hasta que punto esas palabras esconden una gran verdad. Las últimas noticias más extendidas de un matemático son las de Perelman, y no por su demostración, lo noticiable es la renuncia al premio.
No podemos negar que vivimos en un mundo mediático donde la ciencia sólo tiene cabida en reductos, o, como dirían en marketing, en nichos escasamente rentables. Quizás exagere y la ciencia tiene una oportunidad desde que camina Internet, donde cada vez son más los esfuerzos en comunicar sus hallazgos. No sé, será el pesimismo que me infunde una semana donde lo más difundido en los noticieros televisivos son los homenajes a los campeones del mundo. Tal vez. De todas formas sigo pensando que entrará antes un futbolista por el ojo de una aguja que un matemático en los platós de televisión.
Enlaces de interés
- Notoriedad atípica, microsiervos
- Libros de ciencia (by El Corte Inglés), amazings.es
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Cuando no se usa correctamente la estadística
Viernes, Julio 16th, 2010
Dejando el fútbol de lado, en estos momentos viene bien recordar recordar la famosa cita del estadista (que no estadístico) Benjamín Disraeli:
Hay mentiras, grandes mentiras y estadísticas.
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Olvidaos de las esferas sólidas
Martes, Julio 13th, 2010
Amazings.es, otro magnifico empeño en divulgar la ciencia. Suerte y al toro. Os traigo un contenido de una de sus entradas que la sitúan en astronomía pero también es de matemáticas, pues en el XVI la astronomía era una parte de las matemáticas: de ahí que se explicara mediante esferas.
Tycho Brahe fue uno de los primeros de este siglo en postular que Ptolomeo se equivocaba y la concepción del universo de Aristóteles era errónea. Pero lo dijo en voz bajita, para que no se le oyera mucho, a nos ser algunos se enfadaran. Pero no nos equivoquemos, tampoco estaba de acuerdo con la teoría copernicana.
Enlaces de interés
- Olvidaos de las esferas sólidas, amazings
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Firefox Fractal
Lunes, Julio 12th, 2010
Comienzo la semana con otra curiosidad de manos de microsiervos. Esta vez un bonito fractal realizado con la imagen del navegador Firefox.
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