Cauchy fue el primero que abordó la cuestión de la existencia y unicidad de soluciones de las ecuaciones diferenciales y lo hizo con éxito. Su método, creado entre 1820 y 1830 y aplicable a la ecuación y’ = ƒ (t, y), consiste en aproximar la solución a través de una apropiada sucesión de funciones poligonales y aparece en su esencia contenido en un trabajo de Euler de 1768. Cauchy extendió además sus resultados a sistemas de ecuaciones y ecuaciones de orden superior. Las resultados de Cauchy requerían que δf/δy fuesen continuas. En 1876 Lipschitz debilitó la hipótesis reemplazando la continuidad de δf/δy por la condición que lleva su nombre.

En 1838 Liouville había publicado un método alternativo de solución, probablemente también conocido por Cauchy, aplicable en algunos casos particulares. Éste es el llamado método de las aproximaciones sucesivas y ahora se suele atribuir a Picard, que lo estableció en su forma general en 1890 (Lindelöf lo rehizo independientemente en 1893).

También en el año 1890 apareció el teorema de Peano de existencia de soluciones, para el que sólo se exige a ƒ que sea continua (se pierde la unicidad). La demostración fue sucesivamente simplificada por Mie, de la Vallée Poussin, Arzelà, Montel y Perron.

El teorema de diferenciabilidad de soluciones respecto de condiciones iniciales lleva comunmente asociado el nombre de Peano, que lo probó en 1897, aunque existen antecedentes (bien es verdad que más restrictivas) de Nicoletti (1895), Picard (1896) y Bendixson (1896). El resultado de Peano fue a su vez redescubierto independientemente por von Escherich en 1898 y Lindelöf en 1900. Su versión más general (incluyendo parámetros) se debe a Hadamard (1900).

Enlaces de interés:

• Ecuaciones diferenciales: cómo aprenderlas, cómo enseñarlas, Víctor Jiménez López

La primera mención del término matriz para denota: un posicionamiento rectangular de números aparecería en 1850 en un trabajo de James Sylvester (1814-1897). Su terminología sería popularìzada por Arthur Cayley (1821-1895) que la usó como una forma conveniente de representar sistemas de ecuaciones, estableció las reglas básicas de multiplicación para matrices cuadradas e hizo uso del concepto de matriz inversa. En 1858 introduciría la utilización de una sola letra para denota: una matriz y añadiría las reglas de adición y sustracción. Todas las consideraciones serían hechas para matrices 2×2 y 3×3 indicando que las conclusiones se seguían para matrices de orden mayor. El uso de una simple letra para denotar matrices le sugeriría lo que hoy llamamos el teorema de Cayley-Hamilton, aunque ninguno de ambos proporcionaría una prueba general del resultado. Cayley calcularía también raíces cuadradas de matrices.

Cauchy sería el principal responsable del comienzo del desarrollo de la teoría espectral de las matrices en sus trabajos sobre formas cuadráticas y probarla que toda matriz simétrica tiene autovalores reales. Buena parte de esta teoría sería desarrollada en la segunda mitad del siglo XIX gracias a las contribuciones de Georg Frobenius, Camille Jordan (1838-1922) y Karl
Weiezstrass.

(Extraído del texto indicado)

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• Álgebra Lineal. Notas de Clase. Escrito por Pedro Pérez Carreras

Las primeras manifistaciones del concepto de vector aparecen en conexión con la física en los siglos XVI y XVII. La fusión de la idea física con la idea matemática de sistema coordenado aparece en la obra de Wessel(1745-1818) produciendo un sistema algebraico manipulativo estudiando la adición y multiplicación y dando pie a la definición de los complejos como pares ordenados (Hamilton). El intento de este último es extender la multiplicación al espacio tridimensional fracasaría, pero le llevaría a la invención de los cuaterniones…Maxwel(1831-1879) en su Treatise on Electricity and Magnetism propondría la multilicación de dos vectores en el espacio siguiendo las leyes de multiplicación de los cuaterniones, lo que daría origen a los conceptos de producto escalar y producto vectorial de vectores.

(Extraído del texto indicado)

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• Álgebra Lineal. Notas de Clase. Escrito por Pedro Pérez Carreras

La Teoría de Matrices y el Algebra Lineal no aparece como consecuencia del estudio de los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales. La organización de estos coeficientes llevó al desarrollo de los determinantes y no de las matrices (Leibniz utilizó determinantes en 1693 y Cramer desarrolló su método de resolución de sistemas mediante determinante en 1750). El primer uso implícito de las matrices aparece en la obra de Lagrange en su estudio de los extremos de funciones de varias variables a finales del siglo XVIII.

El hecho que llevó al desarrollo de las matrices fue el concepto de multiplicación, dado por Cayley en 1855, para representar la composición de aplicaciones (transformacion ) lineal . Fue Sylvester, en 1848, el que acuñó el término "matriz" pues consideraba una matriz como un generador de determinantes: cada subconjunto de k filas y k columnas de una matriz generaba
un determinante kxk. Con el resultado ”det(AB) = det(A)det(B)” se estableció una conexión entre las teorías de las matrices y los determinantes.

El siglo XX focalizó sus intereses en el estudio de espacios vectoriales abstractos, relegando las matrices al papel de una notación en la interpretación del comportamiento de las aplicaciones lineales. Hubo que esperar al final de la II Guerra Mundial, con el advenimiento de los computadores, para que se volviera a enfatizar el estudio de las matrices como entes con interés propio. Alan Turing introduciría en 1948 el concepto de LU-factorización y una década después aparecería el concepto de QR-descomposición (Wilkinson) y la constatación de la estabilidad del método de eliminación gaussiana, que sigue siendo el mejor método conocido para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales.

(Extraído del texto indicado)

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• Álgebra Lineal. Notas de Clase Escrito por Pedro Pérez Carreras

En la revista NGHistoria aparece este mes un artículo sobre los números escritos en tablillas sumerias. Aquí tenéis una explicación muy ilustrativa.

Enlaces de interés:

• Tablillas y número, tal como aparece en la revista
• Sumer: nace la escritura, historiang.com
• Cómo contaban los sumerios, anfrix

Hace dos milenios, los matemáticos chinos desarrollaron un método para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables y otro distinto para resolver sistemas de mas ecuaciones, métodos que comenzaban con la elección de posibles soluciones para luego ajustar la elección inicial a la solución correcta. Este procedimiento prueba que entendían la idea básica de linealidad.

Sólo cuando surgió la necesidad, la matematica europea se preocuparía del problema de resolver sistemas lineales: en relación a un problema de teoría de curvas, Gabriel Cramer (1704-1752) publicaría lo que hoy llamamos la Regla de Cramer en Introduction à l’Analyse des Lignes Courbes Algébriques (1750), lo que nos indica que los determinantes aparecieron en  conexión con la solución de un sistema de ecuaciones. Colin Maclaurin (1698-1746) redescubriría esta regla en su Treatise of Algebra (1750). Pasará un cierto tiempo hasta que estas ideas fueron patrimonio de los demás. Como, tanto Cramer o Maclaurin, no dieron indicación de cómo proceder para sistemas de más de tres ecuaciones, habría que esperar hasta el siglo XIX en el que las necesidades de la Astronomía exigirfan una mejora del procedimiento. Gauss presentaría un método sistemático de eliminación en conexión con el método de los mínimos cuadrados (1811) para describir la órbita del asteroide Pallas, encontrándose con un sistema de doce ecuaciones con seis incógnitas que, a diferencia de los tratados por Cramer y Maclaurin, tenían coeficientes no enteros. Aunque no utilizó notación matricial, el procedimiento era similar al empleado por los chinos. Este procedimiento sería mejorado por, Wilhelm Jordan (1842-1899) en sus trabajos de Geodesia desarrollando un método sistemático de retrosubstitucióu que proporcionaba las soluciones para las incógnitas mediante fórmulas que involucraban los coeficientes del sistema original.

(Extraído del texto indicado)

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• Álgebra Lineal. Notas de Clase Escrito por Pedro Pérez Carreras